Triangle de Sierpinski - Devoir maison

  Le triangle de Sierpinski est un objet fractal inventé vers 1916 par le mathématicien polonais Waclaw Sierpinski. Sa construction est illustrée dans le fichier GeoGebra suivant.

1. En déplaçant le curseur situé au-dessus du triangle, observer l'évolution de la figure.

Le but de l'exercice est d'étudier l'aire \(S_n\) et le périmètre \(P_n\) de la surface colorée à la `n` -ième étape.

2. On considère un triangle équilatéral ABC de côté `a` . On note H le milieu du segment `[\text{BC}].`

    a. En utilisant le théorème de Pythagore, démontrer que \(\text{AH}=a\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) .

    b. En déduire que l'aire du triangle ABC est égale à \(a^2\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\)

3. On considère un triangle équilatéral de 4 cm de côté. On construit quatre triangles équilatéraux identiques à l'intérieur de celui-ci en utilisant les milieux des côtés du triangle initial.

À chaque étape, on construit dans chaque triangle équilatéral coloré, un triangle équilatéral non coloré ayant pour sommets les milieux des côtés du triangle équilatéral.

On note `V_n` le nombre de triangles violets à la  `n` -ième étape. Ainsi `V_0=1` et  `V_1=3.`

    a. Quelle est la valeur de \(V_2\) ?

    b. Quelle relation simple permet de passer de \(V_n\) à  `V_{n+1}` ? Que peut-on dire de la suite  `(V_n)` ?

    c. Exprimer `V_n` en fonction de \(n\) .

    d. Quel est le plus petit entier naturel `n` tel que \(V_n> 10^9\) ?

4. a. Donner la valeur exacte de `S_0` .

    b. Expliquer, sans calcul, pourquoi la suite `(S_n)` est décroissante.

    c. Quelle est l'image du triangle T par l'homothétie de centre A et de rapport \(k=\dfrac{1}{2}\) ?

    d. Quelle relation peut-on en déduire entre l'aire de T et celle de T' ?

    e. En déduire que  \(S_1=\dfrac{3}{4}S_0\) .

    f. On admet que pour tout \(n\) , \(S_{n+1}=\dfrac{3}{4}S_n\) . En déduire l'expression de \(S_n\) en fonction de \(n.\)

5. a. Calculer `P_0.`

    b. Quel est le sens de variation de la suite  \((P_n)\) ? Justifier sans calcul.

    c. Démontrer que pour tout \(n\) , \(P_{n+1}=\dfrac{3}{2}P_n.\)  En déduire l'expression de \(P_n\) en fonction de \(n.\)

6. Reproduire et compléter le tableau ci-dessous (en arrondissant au dixième si besoin). Que peut-on dire de \(P_n\) et \(S_n\) lorsque \(n\) devient très grand ?

\(\begin{array}{|c|c|} \hline n&0&10&100&200&500 \\ \hline S_n&...&...&...&...&... \\ \hline P_n&...&...&...&...&... \\ \hline \end{array}\)